l’ordre dans R – règles de comparaison

Dans cet paragraphe on va donner les règles de comparaison dans R, avec des exemples d’applications et des exercices.

Règles de comparaison dans R :

Soient $a$, $b$, $c$,$x$ et $y$ des réels, on a :

1- On dit que $a$ est inférieur à $b$ ($a\leq b$) si $a-b\leq 0$.

Exemple : Comparer $(2x+1)$ et $(x+1)²$.

on a $(2x+1)-(x+1)²=2x+1-(x²+2x+1)$ $=2x+1-x²-2x-1=-x²$

et puisque $-x²\leq 0$

donc $2x+1\leq (x+1)²$.

2- On dit que $a$ est strictement inférieur à $b$ ($a<b$) si $a-b\leq 0$.

Exemple : Comparer $\frac{3}{7}$ et $\frac{5}{11}$.

on a $\frac{3}{7}-\frac{5}{11}=\frac{3\times 11 -5\times 7}{7\times 11}$ $=\frac{33-35}{77} =\frac{-2}{77}$

et puisque $\frac{-2}{77}<0$

alors $\frac{3}{7}<\frac{5}{11}$

3- On dit que $a$ est supérieur à $b$ ($a\geq b$) si $a-b\geq 0$.

Exemple : Comparer $a²+b²$ et $2ab$.

on a $(a²+b²)-2ab=(a-b)²$ et puisque $(a-b)²\geq 0$ donc $a²+b²\geq 2ab$.

4- On dit que $a$ est strictement supérieur à $b$ ($a>b$) si $a-b>0$.

Exemple : Comparer $\frac{2}{5}$ et $\frac{1}{3}$.

on a $\frac{2}{5}-\frac{1}{3}=\frac{2\times 3-1\times 5}{3\times 5}$ $=\frac{6-5}{15} =\frac{1}{15}$

et puisque $\frac{1}{15}>0$

alors $\frac{2}{5}>\frac{1}{3}$

Exercice 1 :

a et b deux réels positifs, comparer $2\sqrt{ab}$ et $a+b$.

.

5- si $a<b$ et $b<c$ alors $a<c$.

Exemple : on a $-x²-1\leq-1$ et $-1\leq0$ alors $-x²-1\leq 0$.

6- Si si $a<b$ alors si $a+c<b+c$.

Exemple : Comparer $2$ et $\sqrt{2}+1$.

on a $1<\sqrt{2}$ alors $1+1<\sqrt{2}+1$ donc $2<\sqrt{2}+1$.

7-Si si $a<b$ et $x<y$ alors si $a+x<b+y$.

Exemple :Comparer $3$ et $\sqrt{2}+\sqrt{3}$.

on a $1<\sqrt{2}$ et $2<\sqrt{3}$

alors $3<\sqrt{2}+\sqrt{3}$.

8- Soit $k$ un réel non nul, on a :

• • si $a<b$ et $k>0$ alors $k\times a<k\times b$.
  • et si $a<b$ et $k<0$ alors $k\times a>k\times b$.

Exemple : soit x et y deux réels tel que $x\leq y$, Comparer $-2x$ et $-2y$ puis $\frac{x}{3}$ et $\frac{y}{3}$.

• On a $x\leq y$ et $-2<0$ alors $-2x>-2y$.
• On a $x\leq y$ et $\frac{1}{3}>0$ alors $\frac{1}{3}\times x\leq \frac{1}{3}\times y$ donc  $\frac{x}{3}\leq \frac{y}{3}$.

9- soient $a$ et $b$ deux réels non nuls et de même signe, on a :

si $a<b$ alors $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$.

Exemple : comparer $1$ et $\frac{1}{x^2+1}$.

on sait que $x^2\geq 0$ alors $x^2+1\geq 1$

et puisque $x^2+1$ et 1 sont positives (e m^me signe) et non nuls,

alors $\frac{1}{x^2+1}\leq\frac{1}{1}$

donc $\frac{1}{x^2+1}\leq 1$

10- soient $a$ et $b$ deux réels positives, on a :

• • si $a<b$ alors $a²<b²$    et   si  $a²<b²$ alors  $a<b$.
  • si $a<b$ alors $\sqrt{a}<\sqrt{b}$    et   si $\sqrt{a}<\sqrt{b}$ alors  $a<b$.

Exemple  : Comparer $3\sqrt{4}$ et $\sqrt{35}$.

On a $(3\sqrt{4})^2=9\times 4=36$ et $(\sqrt{35})^2=35$

et on sait que $36>35$

donc $3\sqrt{4}>\sqrt{35}$ car $3\sqrt{4}$ et $\sqrt{37}$ sont des nombres positifs.

Exercice 2 : 

1- Comparer $\frac{5}{3+3\sqrt{7}}$ et $\frac{5}{3+5\sqrt{2}}$.

.

2- Comparer $\sqrt{25+10\sqrt{2}}$ et $5+\sqrt{2}$.

.

3- Soient $a$ et $b$ deux réels positifs tel que $1<a<b$, comparer $a²+1$ et $ab+2$.

.

Voir tous les parties de cours 

Le cours en arabe

Par Youssef NEJJARI