Domaine de définition d’une fonction
Dans cet article on va voir comment déterminer le domaine de définition d’une fonction numérique.
Définition :
L’ensemble ou domaine de définition d’une fonction $f$ est l’ensemble de tous les réels $x$ pour lesquels $f(x)$ existe ou est calculable. On le note $D_f$.
Comment déterminer le domaine de définition d’une fonction ?
Règle 1 : Un polynôme est défini sur $\mathbb{R}$.
Exemple : la fonction $g(x)=-\frac{3}{5}x^2+3x-\sqrt{7}$ est définie sur $\mathbb{R}$, On note $D_g=\mathbb{R}$.
Règle 2 : La fonction $x\rightarrow \sqrt{P(x)}$ est définie si et seulement si $P(x)\geq 0$.
Exemple : la fonction $h(x)=\sqrt{x-3}$ est définie si $x-3\geq 0$ c.à.d. si $x\geq 3$, donc $D_h=[3; +\infty[$.
Règle 3 : La fonction $x\rightarrow \frac{P(x)}{Q(x)}$ est définie si et seulement si $Q(x)\neq 0$.
Exemple : la fonction $f(x)=\frac{x^3-2x}{x-5}$ est définie si $x-5\neq 0$ c.à.d. si $x\neq 5$, donc $D_h=]\infty ; 5[\bigcup ]5; +\infty[$.
Règle 4 : La fonction $x\rightarrow \frac{P(x)}{\sqrt{Q(x)}}$ est définie si et seulement si $Q(x)> 0$.
Exemple : la fonction $l(x)=\frac{x^3-2x}{\sqrt{x+2}}$ est définie si $x+2>0$ c.à.d. si $x>-2$, donc $D_l=]-2; +\infty[$.
Règle 5 : La fonction $x\rightarrow ln (u(x))$ est définie si et seulement si $u(x)> 0$.
Exemple : la fonction $a(x)=ln(3-2x)$ est définie si $3-2x>0$ c.à.d. si $x<\frac{3}{2}$, donc $D_a=]-\infty;\frac{3}{2}[$.
Exercice 1 : Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes:
- $f(x)=2x^3-3x+5$ ; $g(x)=\frac{1-3x}{3x-7}$ ; $h(x)=sqrt{5-3x}$ ; $l(x)=ln(x^2+3)$.
- $f(x)=\frac{3x^2-1}{x^2-x-6}$ ; $g(x)=\sqrt{x^2-4x}$ ; $h(x)=sqrt{\frac{x-2}{1-x}}$ ; $l(x)=ln(2x^2+9x-5)$.
La correction de l’exercice : (en construction)
Comment déterminer le domaine de définition d’une fonction à partir de sa représentation graphique?
Exemple 1 : $D_f=[-2; \frac{5}{2}[$.
Exemple 2 : $D_g=]-\infty ;1[\bigcup ]1;+\infty[$.
Exercice 2 : Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes.
- $f(x)=2x\times (3x^2-4x+5)$.
- $g(x)=\frac{2x+3}{x^2-4}$.
- $h(x)=\sqrt{3x+5}$.
- $l(x)=\frac{x^3-1}{\sqrt{2-x}}$.
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Rédigé par le professeur Youssef NEJJARI pour le site www.fr.Maths01.com