Domaine de définition d’une fonction

Domaine de définition d'une fonction

Domaine de définition d’une fonction

Dans cet article on va voir comment déterminer le domaine de définition d’une fonction numérique.

Définition :

L’ensemble ou domaine de définition d’une fonction $f$ est l’ensemble de tous les réels $x$ pour lesquels $f(x)$ existe ou est calculable. On le note $D_f$.

Comment déterminer le domaine de définition d’une fonction ?

Règle 1 : Un polynôme est défini sur $\mathbb{R}$.

Exemple : la fonction $g(x)=-\frac{3}{5}x^2+3x-\sqrt{7}$ est définie sur $\mathbb{R}$, On note $D_g=\mathbb{R}$.

Règle 2 : La fonction $x\rightarrow \sqrt{P(x)}$ est définie si et seulement si $P(x)\geq 0$.

Exemple : la fonction $h(x)=\sqrt{x-3}$ est définie si $x-3\geq 0$ c.à.d. si $x\geq 3$, donc $D_h=[3; +\infty[$.

Règle 3 : La fonction $x\rightarrow \frac{P(x)}{Q(x)}$ est définie si et seulement si $Q(x)\neq 0$.

Exemple : la fonction $f(x)=\frac{x^3-2x}{x-5}$ est définie si $x-5\neq 0$ c.à.d. si $x\neq 5$, donc $D_h=]\infty ; 5[\bigcup ]5; +\infty[$.

Règle 4 : La fonction $x\rightarrow \frac{P(x)}{\sqrt{Q(x)}}$ est définie si et seulement si $Q(x)> 0$.

Exemple : la fonction $l(x)=\frac{x^3-2x}{\sqrt{x+2}}$ est définie si $x+2>0$ c.à.d. si $x>-2$, donc $D_l=]-2; +\infty[$.

Règle 5 : La fonction $x\rightarrow ln (u(x))$ est définie si et seulement si $u(x)> 0$.

Exemple : la fonction $a(x)=ln(3-2x)$ est définie si $3-2x>0$ c.à.d. si $x<\frac{3}{2}$, donc $D_a=]-\infty;\frac{3}{2}[$.

Exercice 1 : Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes:

  1. $f(x)=2x^3-3x+5$ ; $g(x)=\frac{1-3x}{3x-7}$ ; $h(x)=sqrt{5-3x}$ ; $l(x)=ln(x^2+3)$.
  2. $f(x)=\frac{3x^2-1}{x^2-x-6}$ ; $g(x)=\sqrt{x^2-4x}$ ; $h(x)=sqrt{\frac{x-2}{1-x}}$ ; $l(x)=ln(2x^2+9x-5)$.

La correction de l’exercice : (en construction)

Comment déterminer le domaine de définition d’une fonction à partir de sa représentation graphique?

Exemple 1 : $D_f=[-2; \frac{5}{2}[$.


Domaine de définition d'une fonction

Exemple 2 : $D_g=]-\infty ;1[\bigcup ]1;+\infty[$.

Domaine de définition d'une fonction

Exercice 2 : Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes.

  1. $f(x)=2x\times (3x^2-4x+5)$.
  2. $g(x)=\frac{2x+3}{x^2-4}$.
  3. $h(x)=\sqrt{3x+5}$.
  4. $l(x)=\frac{x^3-1}{\sqrt{2-x}}$.

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Rédigé par le professeur Youssef NEJJARI pour le site www.fr.Maths01.com

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