Définition d’un polynôme + QCM.

Un monôme est une expression de la forme : $$a x^n$$. avec a est un réel non nul et n un entier naturel.

Exemples de monômes :  $$3 x^5$$  ;   $$\sqrt{2}x^3$$   ;  $$(-\sqrt{3}+1) x^4$$  ; $$\frac{3}{7} x^2$$

Un polynôme est la somme de plusieurs monômes.

Exemple : $P(x)=3 x^5+2x^3-x^2+3x-4$

Donc un polynôme est une expression de la forme :

$ a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+a_{n-2} x^{n-2}+……..+a_2 x^2+a_1 x+a_0$

$=\sum_{i=0}^n a_i x^i$ .

Avec ($a_i\in \pmb{\mathbb{R}}$) et ($n\in \pmb{\mathbb{N}}$)

($\pmb{\mathbb{R}}$ est l’ensemble des nombres réels  et $\pmb{\mathbb{N}}$ est l’ensemble des nombres entiers naturels) .

Les $a_i$ s’appellent des coefficients.

Le degré d’un polynôme est la plus grande puissance dans le polynôme avec coefficient non nul.

L’écriture simplifiée d’un polynôme est l’organisation des monômes de plus haut degré au plus bas.

Exemples : 

$ P(x) = 2x^3-5x^2+7x-3 $ ;  $ Q(x) = \sqrt{5}x^5-\frac{2}{7}x^7+7x^2-3x $ ;

Le degré du polynôme P est 3 et on écrit d°(P)=3 ou degP=3.

Le degré du polynôme Q est 7 et on écrit d°(Q)=7 ou degQ=7.

Attention : pour déterminer le degré d’un polynôme on doit l’écrire sous la forme simplifiée.

Question : 

Déterminer le degré du polynôme : $ R(x)=2x(3x^5-4x^3)+x^2-6x^6+1$

Réponse : 

D’abord on écrit R(x) sous la forme simplifiée !

$ R(x)=2x(3x^5-4x^3)+x^2-6x^6+1=6x^6-8x^4+x^2-6x^6+1 =-8x^4+x^2+1 $

Donc degR=4.

Remarques : 

• Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.
• Deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients des monômes de même degré sont égaux.

Cas particuliers :

• Un binôme du 1 er degré est un polynôme de la forme : $ax+b$ ($a\neq 0$).
• Un trinôme du 2 ème degré est un polynôme de la forme : $ax^2+bx+c$  ($a\neq 0$).

Exercice : 

Soient les deux polynômes : $P(x)=1-2x-x^2+x^2(x-1)$ et $Q(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ avec $a\neq 0$.

1. Ecrire le polynôme $P(x)$ sous la forme simplifiée.
2. Déterminer degP et degQ.
3. Déterminer a, b, c et d tel que : $Q(x)+x-2=P(x)$.
4. Calculer $P(1)$, $P(0)$ et $P(-2)$.

Correction : 

1. $P(x)=1-2x-x^2+x^2(x-1)=1-2x-x^2+x^3-x^2=x^3-2x^2-2x+1$
2. degP=3  et degQ=3 car $a\neq 0$.
3. $Q(x)+x-2=P(x)$  c.à.d. $ax^3+bx^2+cx+d+x-2=x^3-2x^2-2x+1$

alors $ax^3+bx^2+(c+1)x+(d-2)=x^3-2x^2-2x+1$

(et puisque si deux polynômes sont égaux signifié que les coefficients des monômes de même degré sont égaux).

alors $a=1 , b=-2 , c+1=-2 et d-2=1$  donc $a=1 , b=-2 , c=-3 et d=3$

4. $P(x)=x^3-2x^2-2x+1$ alors $P(1)=1^3-2\times 1^2-2\times 1+1=1-2-2+1=-2$,

$P(0)=0^3-2\times 0^2-2\times 0+1=1$ et $P(-2)=(-2)^3-2\times (-2)^2-2\times (-2)+1=-8-8+4+1=-11$

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Auteur : Youssef NEJJARI tous les droits réservées.

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