Continuités sur un intervalle

fonction continue

Continuités sur un intervalle

Dans cet article on va voir un résumé de cours sur la continuités sur un intervalle avec des exemples d’applications et un exercice corrigé.

Continuités sur un intervalle  & Fonctions continues :

On dit q’une fonction $f$ est continue sur un intervalle $I$ si on a : $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow x_0}} f(x)$ = $f(x_0)$ pour tout $x_0\in I$.

Exemple :

Soit la fonction $f_1(x)=3x^2-4x+7$.

Pour tout $x_0\in \mathbb{R}$, on a $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow x_0}} f(x)$ = $f(x_0)$  donc $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

Conclusion : Les fonctions polynômes, trigonométriques, rationnelles, irrationnelles et racine carrée sont continues sur chaque partie de leur domaine de définition.

Exemples :

  • La fonction $f_2(x)=\frac{x^2-4x}{x-1}$ est continue sur $ ]-\infty ; 1[$ et sur $]1 ; +\infty[$.
  • La fonction $f_3(x)=\sqrt{x-5}$ est continue sur $]5 ; +\infty[$.

Opérations sur les fonctions continues :

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$ et $k\in\mathbb{R}$.

  • Les fonctions $f+g$, $k\times f$ et $f\times g$ sont continues sur $I$.
  • Les fonctions $\frac{1}{g}$ et $\frac{f}{g}$ sont  continues sur I si et seulement si $g(x)\neq 0$ pour tout $x_0\in I$.
  • La fonction $\sqrt{f}$ est continue sur I si et seulement si $f(x)\geq 0$ pour tout $x_0\in I$.

Remarque :

Si une fonction $f$ est continue sur un intervalle $I$ et $J\subset I$ alors $f$ est continue  sur $J$.

Continuités sur un intervalle

Exemple :

Soit la fonction $f_4(x)=x^2-1$.

$f$ est une fonction polynôme, donc $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $]-1;1[\subset \mathbb{R}$ donc $f$ est continue sur $]-1;1[$.

 

Exercice 1 :

Soient les deux fonctions $f(x)=\sqrt{x}+2x-1$ et $g(x)=\frac{x^2+3}{2-x}$.

1- Montrer que $f$ est continue sur $[0;+\infty[$.

2- Montrer que $g$ est continue sur $]-\infty ;2[$.


Correction de l'exercice 1
.

Exercice 2 :

Soit la fonction $h$ définie par : $\left\{\begin{array}{r c}h(x)=x^2+1 si \phantom   xx\geq 0\\h(x)=(x-1)^2 si \phantom   xx<0\end{array}\right.$

Est ce que $h$ est continue sur $\mathbb{R}$.


Correction de l'exercice 2
.

Exercice 3 : (Ecrivez votre réponse dans un commentaire ci-dessous)

Soit la fonction $l$ définie par : $\left\{\begin{array}{r c}l(x)=\sqrt{x^2+3} si \phantom   xx\geq 1\\l(x)=(x-1)^2 si \phantom   xx<0\end{array}\right.$

Est ce que $l$ est continue sur $\mathbb{R}$.

Explication du cours en arabe

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