La Fonction Réciproque et notion de bijection

La Fonction Réciproque courbe

La Fonction Réciproque – limites et continuités

Ce chapitre concerne la notion de la fonction réciproque, ses propriétés et sa représentation graphique.

La Fonction Réciproque :

Soit $f$ une fonction définie sur une intervalle $I$.

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$ donc $f$ admet une fonction réciproque notée $f^{-1}$ définie sur une intervalle $J$ telle que $J=f(I)$.

Conclusion :

La Fonction Réciproque - limite et continuités

c’est à dire les courbes de $f$ et de $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite d’équation $y=x$ (la première bissectrice du repère).

  • $f$ et $f^{-1}$ ont le même sens de variations.

Dérivée : 

Si $f$ est dérivable en $x_0$ et $f(x_0)\neq 0$ alors $f^{-1}$ est dérivable en $y_0=f(x_0)$ et on a : $f{-1}^(y_0)=\frac{1}{f'(f{-1}^(y_0))}$.

Exemple : soit la fonction $f(x)=x^2$.

On a $f$ est continue et strictement croissante sur $[0;+\infty[$, donc $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $J$, telle que : $J=f([0;+\infty[)$ $=[0;+\infty[$.

On détermine $f^{-1}(x)$ :

alors $y^2=x$ donc $y=\sqrt{x}$

donc $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$.

La Fonction Réciproque courbe

Conclusion :

La fonction $f^{-1}$ a le même sens de variation que $f$.

Notion de bijection :

Soit $f$ une fonction définie de l’ensemble $E$ vers l’ensemble $F$.

$f$ est dite bijective si tous les éléments de $F$ ont un unique antécédent dans $E$.

Notion de bijection

Exemple :

Soient les deux fonctions $f(x)=2x+1$ et $f(x)=x^2+7$.

  • si $f(x_1)=f(x_2)$ c’est à dire $2x_1+1=2x_2+1$

alors $2x_1=2x_2$

alors $x_1=x_2$

Donc $f$ est bijective.

  • si $g(x_1)=g(x_2)$ c’est à dire ${x_1}^2+7={x_2}^2+7$

alors ${x_1}^2={x_2}^2$

alors $x_1=x_2$ ou $x_1=-x_2$

Donc $f$ n’est pas bijective.

Exercice :

soit la fonction $h(x)=\frac{1}{\sqrt{x}+1}$.

  1. Déterminer $D_h$ le domaine de définition de $h$, et calculer $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow +\infty}} h(x)$ et $h(0)$.
  2. Calculer $h'(x)$ et tracer le tableau de variation de $h$.
  3. Montrer que $h$ est continue sur $D_h$.
  4. Montrer que $h$ admet une fonction réciproque $h^{-1}$ définie sur une intervalle $J$ puis déterminer $J$.
  5. Déterminer $h^{-1}(x)$.
  6. Tracer $C_h$ et $C_{h^{-1}} dans le même repère $(O, i, j)$.

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شرح الدرس بالعربية

Par Youssef NEJJARI
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