Variations d’une fonction

Variations d’une fonction

Soit $I$ une partie de $\mathbb{R}$ et $f$ est une fonction définie sur $I$ et x et y deux éléments de l’intervalle $I$.

  • Si pour tout $x<y$ on a $f(x)<f(y)$, on dit que $f$ est strictement croissante sur $I$.
Variation d'une fonction Graphique d'une fonction croissante.
Variation d’une fonction Graphique d’une fonction croissante.

Exemple : soit la fonction $f(x)=2x-1$ définie sur $\mathbb{R}$.

pour tout $x$ et $y$ de $\mathbb{R}$ on a :

Si $x<y$ alors $2x<2y$ alors $2x-1<2y-1$ c.à.d $f(x)<f(y)$, donc f est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

  • Si pour tout $x<y$ on a $f(x)>f(y)$, on dit que $f$ est strictement décroissante sur $I$.
Variation d'une fonction Graphique d'une fonction décroissante
Variation d’une fonction – Graphique d’une fonction décroissante

Exemple : Soit la fonction $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ définie sur $]0;+\infty[$.

Pour tout $x$ et $y$ de $]0;+\infty[$ on a :

Si $x<y$ alors $\sqrt{x}<\sqrt{y}$ alors $\frac{1}{\sqrt{x}}>\frac{1}{\sqrt{y}}$ c.à.d $f(x)>f(y)$, donc f est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$ .

  • Si pour tout $x<y$ on a $f(x)=f(y)$, on dit que $f$ est constante sur $I$.

Exemple : La fonction $f(x)=5$ est une fonction constante sur  $\mathbb{R}$.

Remarque : $f$ est une fonction définie sur $I$,  $x$ et $y$ deux éléments de l’intervalle $I$ tel que $x\neq y$.

Soit l’expression : $T(x,y)=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$ :

  • Si $T(x,y)>0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
  • Si $T(x,y)\geq 0$ alors $f$ est croissante sur $I$.
  • Si $T(x,y)>0$ alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
  • Si $T(x,y)\leq 0$ alors $f$ est décroissante sur $I$.
  • Si $T(x,y)=0$ alors $f$ est constante sur $I$.

Remarque :

  • Si $f$ est strictement croissante on peut dire que $f$ est croissante, mais l’inverse n’est pas correcte.

Variation d’une fonction : fonction affine

Définition : Une fonction $f$ est dite strictement monotone si et seulement si elle est strictement croissante ou strictement décroissante sur une intervalle $I$.

Exemple : Soit la fonction $f$ représentée par le graphique ci-dessous :

Fonction affine
Variation d’une fonction
  • La fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0;2]$ donc $f$ est une fonction affine sur $[0;2]$.
  • La fonction $f$ est strictement croissante sur $[2;4]$ donc $f$ est une fonction affine sur $[0;2]$.
  • Mais $f$ n’est pas affine sur $[0;4]$ car elle change la variation.

Exercice : 

  1. Déterminer la variation des fonctions suivantes sur leurs domaines de définition :
    • $f(x)=\sqrt{x-1}$.
    • $g(x)=\frac{2}{x-2}$.
  2.  Montrer que la fonction $h(x)=x^3$ est une fonction affine sur $]0;+\infty[$.
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4 Replies to “Variations d’une fonction”

  1. Dans l’exemple précité d’une fonction constante
    f(×) =5× n’est pas une fonction constante.
    Contrairement à ce qui a été écrit.
    Et merci

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