Variations d’une fonction
Soit $I$ une partie de $\mathbb{R}$ et $f$ est une fonction définie sur $I$ et x et y deux éléments de l’intervalle $I$.
- Si pour tout $x<y$ on a $f(x)<f(y)$, on dit que $f$ est strictement croissante sur $I$.
Exemple : soit la fonction $f(x)=2x-1$ définie sur $\mathbb{R}$.
pour tout $x$ et $y$ de $\mathbb{R}$ on a :
Si $x<y$ alors $2x<2y$ alors $2x-1<2y-1$ c.à.d $f(x)<f(y)$, donc f est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
- Si pour tout $x<y$ on a $f(x)>f(y)$, on dit que $f$ est strictement décroissante sur $I$.
Exemple : Soit la fonction $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ définie sur $]0;+\infty[$.
Pour tout $x$ et $y$ de $]0;+\infty[$ on a :
Si $x<y$ alors $\sqrt{x}<\sqrt{y}$ alors $\frac{1}{\sqrt{x}}>\frac{1}{\sqrt{y}}$ c.à.d $f(x)>f(y)$, donc f est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$ .
- Si pour tout $x<y$ on a $f(x)=f(y)$, on dit que $f$ est constante sur $I$.
Exemple : La fonction $f(x)=5$ est une fonction constante sur $\mathbb{R}$.
Remarque : $f$ est une fonction définie sur $I$, $x$ et $y$ deux éléments de l’intervalle $I$ tel que $x\neq y$.
Soit l’expression : $T(x,y)=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$ :
- Si $T(x,y)>0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
- Si $T(x,y)\geq 0$ alors $f$ est croissante sur $I$.
- Si $T(x,y)>0$ alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
- Si $T(x,y)\leq 0$ alors $f$ est décroissante sur $I$.
- Si $T(x,y)=0$ alors $f$ est constante sur $I$.
Remarque :
- Si $f$ est strictement croissante on peut dire que $f$ est croissante, mais l’inverse n’est pas correcte.
Variation d’une fonction : fonction affine
Définition : Une fonction $f$ est dite strictement monotone si et seulement si elle est strictement croissante ou strictement décroissante sur une intervalle $I$.
Exemple : Soit la fonction $f$ représentée par le graphique ci-dessous :
- La fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0;2]$ donc $f$ est une fonction affine sur $[0;2]$.
- La fonction $f$ est strictement croissante sur $[2;4]$ donc $f$ est une fonction affine sur $[0;2]$.
- Mais $f$ n’est pas affine sur $[0;4]$ car elle change la variation.
Exercice :
- Déterminer la variation des fonctions suivantes sur leurs domaines de définition :
- $f(x)=\sqrt{x-1}$.
- $g(x)=\frac{2}{x-2}$.
- Montrer que la fonction $h(x)=x^3$ est une fonction affine sur $]0;+\infty[$.
Bonjour monsieur. Au niveau de la correction de l’exercice qui est sur le lien suivant https://maths01.com/fr/maths-tronc-commun/variations-dune-fonction-numerique/ de votre page, la fonction h est strictement croissante car h(x)<h(y) avec x<y.
Dans votre corrigé vous avez tout trouvé sauf que vous dites que h est strictement décroissante au lieu de croissante.
Cordialement bien.
Bonjour Farid
Peut être, Merci bien pour votre commentaire.
Dans l’exemple précité d’une fonction constante
f(×) =5× n’est pas une fonction constante.
Contrairement à ce qui a été écrit.
Et merci
Merci pour votre remarque, j’ai corrigé l’erreur.