Théorème des valeurs intermédiaires.

Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème des valeurs intermédiaires

Le théorème des valeurs intermédiaires pour la deuxième année du baccalauréat international BIOF.

Théorème 1 : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $[a; b]$.

Si $f$ est continue sur $[a; b]$ et $m$ un réel compris entre f(a) et f(b), alors l’équation f(x) = m a au moins une solution dans $[a; b]$.

Interprétation graphique : f(x) = m a au moins une solution dans $[a; b]$ signifie que la courbe de $f$ coupe la droite d’équation $y=m$ au moins une fois.

Exemple : Soit la fonction $f(x)=x^2-4x+1$.

$f$ est continue sur $[0; 1]$ et on a $f(\frac{1}{5})=\frac{6}{25}$ et $f(\frac{2}{5})=\frac{-11}{25}$.

Soit $m=0$, puisque $\frac{-11}{25}<0<\frac{6}{25}$ c.à.d $f(\frac{2}{5})<0<f(\frac{1}{5})$

donc l’équation $f(x)=0$ au moins une solution dans $[\frac{1}{5} ; \frac{2}{5}]$.

Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème 2 : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $[a; b]$.

Si $f$ est continue et strictement monotone (croissante ou bien décroissante) sur $[a; b]$ et $m$ un réel compris entre f(a) et f(b), alors l’équation f(x) = m a une seule solution dans $[a; b]$.

Exemple : Soit la fonction $g(x)=x^3-5x+1$.

$g$ continue est strictement décroissante sur $[0; \frac{1}{5}]$ et on a $g(0)=1$ et $g(\frac{1}{4})=\frac{-15}{64}$.

Soit $m=\frac{1}{2}$, puisque $\frac{-15}{64}<\frac{1}{2}<1$ c.à.d $f(\frac{1}{4})<0<f(0)$

donc l’équation $f(x)=\frac{1}{2}$ a une seule solution dans $$[0; \frac{1}{5}]$.

Interprétation graphique : f(x) = m a une seule solution dans $[a; b]$ signifie que la courbe de $f$ coupe la droite d’équation $y=m$ une seule  fois.

TVI

Conclusion : 

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $[a; b]$.

  • Si $f$ est continue sur $[a; b]$ et et $f(a)_\times f(b)<0$, alors l’équation f(x) = 0 a au moins une solution dans $[a; b]$.
  • Si $f$ est continue et strictement monotone (croissante ou bien décroissante) sur $[a; b]$ et $f(a)_\times f(b)<0$, alors l’équation f(x) = 0 a une seule solution dans $[a; b]$.

Exemple : Soit la fonction $h(x)=x^3-4x-1$.

$h$ continue est strictement croissante sur $[2; \frac{5}{2}]$.

et on a $h(2)\times g(\frac{5}{2})$ $=(-1)\times  \frac{37}{8}$ $=\frac{-37}{8}$ c.à.d $h(2)\times g(\frac{5}{2})<0$.

Donc l’équation f(x) = 0 a une seule solution dans $[2; \frac{5}{2}]$.

 Théorème des valeurs intermédiaires

Exercice :

soit la fonction $f(x)=1-x-x^2$.

1-a – Montrer que l’équation $f(x)=0$ admet au moins une solution sur $\mathbb{R}$.

1-b- Montrer que l’équation $f(x)=0$ admet une seule solution sur l’intervalle $[\frac{1}{2}; 1]$.

2- Montrer que la courbe de $f$ coupe la droite d’équation $y=-2$ une seule fois sur l’intervalle $[1; 2]$.

شرح الدرس بالعربية 

Par Youssef NEJJARI
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