Le produit scalaire tronc commun

Le produit scalaire

I- Définitions et propriétés du produit scalaire : 

Définition 1 : Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan.

O, A et B trois points tels que : $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OB}$.

produit scalaire

On appelle produit scalaire de $\overrightarrow{u}$ par $\overrightarrow{v}$ le nombre réel noté $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ tel que :

  • si $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ alors $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$.
  • si $\overrightarrow{u}\neq \overrightarrow{0}$ et $\overrightarrow{v}\neq \overrightarrow{0}$, et H le projeté orthogonal de A sur (OB).
    • si $\overrightarrow{OB}$ et $\overrightarrow{OH}$ ont le même sens :

Alors $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=𝑂𝐵\times𝑂𝐻$

    • si $\overrightarrow{OB}$ et $\overrightarrow{OH}$ sont de sens contraire :

 

Alors $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-𝑂𝐵\times𝑂𝐻$

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