Les puissances et l’écriture scientifique TCSF

Les puissances – définition et propriétés.

Dans cet article sur les puissances on va voir la définition de la puissance et ses propriétés ainsi que des exemples et des exercices corrigés.

Définition : 

soient $a$ un réel et $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2.

On désigne par $a^n$ (lire «a à la puissance n») le produit de n facteurs égaux à a.

Les puissances Math Tronc commun

  • $n$ est appelé exposant de la puissance $a^n$.
  • $a$ est appelé la base de la puissance $a^n$.

Exemples :

  • $5^3=5\times 5 \times 5$ $=125$.
  • $(-2)^5=(-2)\times (-2) \times (-2)\times (-2)\times (-2)$ =$-32$.
  • $(-2)^4=(-2)\times (-2) \times (-2)\times (-2)$ =$16$.

Cas particuliers : soit $a$ un réel non nul, on a :

$a^1=a$   ;;  $a^0=1$   ;;   $0^0=0$

Propriétés des puissances

soient $a$ et $b$ deux réels ($b\neq 0$), et $n$ et $m$ deux entiers naturels supérieurs ou égals à 2, on a :

  • $a^n\times a^m$ $=a^{n+m}$  Exemple : $5^3\times 5^6$ $=5^{3+6}$ $=5^9$.
  • $(a^n)^m$ $=a^{n\times m}$  Exemple : $(5^3)^6$ $=5^{3\times 6}$ $=5^{18}$.
  • $a^n\times b^n=(a\times b)^n$ Exemple : $5^2\times 3^2=(5\times 3)^2$ $=15^2$.
  • $\frac{a^n}{b^n} =(\frac{a}{b})^n$ Exemple : $\frac{8^7}{4^7} =(\frac{8}{4})^7$ $=2^7 =128$.
  • $b^{-n}=\frac{1}{b^n}$ Exemple : $2^{-3} =\frac{1}{2^3} =\frac{1}{8}$.

Puissance de 10 :

Soit n un entier naturel non nul, on a :

puissance de 10

Exemples :

$10^2=100$     ;;    $10^5=100000$  ;;   $10^{-3}=0.001$  ;;  $10^{-7}=0.0000001$.

L’écriture scientifique :

Soient n un entier relatif et $a$ un réel tels que $1\leq a<10$. (1 compris et 10 exclu)

L’écriture $a\times 10^n$ s’appelle « écriture scientifique ».

Exemples :

  • L’écriture scientifique de $12500$ est $1.25\times 10^4$.
  • L’écriture scientifique de $0.00057$ est $5.7\times 10^{-4}$.

Exercice :

1- Calculer : $7^0\times 1^5\times 99^1$  ;;  $5^3$ ;; $(-5)^3$ ;; $(-5)^4$ ;; $-5^4$.

2- Simplifier : $\frac{6^{11}\times 5^{12}}{15^{11}\times 2^{12}}$  et  $\frac{(7^2\times 5^3)^5}{21^{10}\times 15^{-10}}$  ;;  $(0.01)^99\times \frac{500^{99}}{5^{99}}$.

3- Donner l’écriture scientifique de : $0.0000147$, $10000000$, $12700\times 10^{-17}$ et $\frac{-45,2\times 10^{7}}{2\times 10^{-16}}$.

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Exercice + correction

Le cours en arabe avec des exercices corrigées

Par Youssef NEJJARI
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