La racine carrée d’un nombre réel math TCSF

Les racines carrées

La racine carrée d’un nombre réel

Dans cet article on va voir la définition de la racine carrée et ses propriétés ainsi que des exemples et des exercices corrigés.

Définition de la racine carrée :

Soit $x$ un nombre réel positif,  la racine carrée de $x$ est un nombre positif $y$ tel que $y^2=x$. on note $y=\sqrt{x}$.

et on a $(\sqrt{x})^2=\sqrt{x^2}=x$   ($x\geq 0$)

Exemples :

  • on a $2^2=4$  alors  $\sqrt{4}=2$.
  • et $7^2=49$  alors  $\sqrt{49}=7$.

Attention ! on a $(-3)^2=9$ mais $\sqrt{(-3)^2}\neq -3$ et on a $\sqrt{(-3)^2}$=$\sqrt{(3)^2}=3$.

La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas !!! 

Exercice :

Calculer : $\sqrt{16}$  ;;  $\sqrt{36}$  ;;  $\sqrt{(-11)^2}$  ;; $\sqrt{(5)^2}$ ;; $\sqrt{1}$  ;;  $\sqrt{0}$ ;;  $(\sqrt{15})^2$ .

_________

$\sqrt{16}=\sqrt{4^2}=4$

$\sqrt{36}=\sqrt{6^2}=6$

$\sqrt{(-11)^2}=\sqrt{11^2}=11$

$\sqrt{(5)^2}=5$

$\sqrt{1}=\sqrt{1^2}=1$

$\sqrt{0}=\sqrt{0^2}=0$

$(\sqrt{15})^2=15$

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Les racines carrées
Les racines carrées

Propriétés des racines carrées :

Soient $a$ et $b$ deux nombres positifs, on a :

  • $\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{a\times b}$.
  • ($b\neq 0$) $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$   et   $\frac{1}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{b}}{b}$
  • $\sqrt{a}\times \sqrt{a}=a$.

Exemples :

  • $\sqrt{3}\times \sqrt{6}=\sqrt{3\times 6}=\sqrt{18}$.
  • $\sqrt{18}=\sqrt{9\times 2}=\sqrt{9}\times\sqrt{2}=\sqrt{3^2}\times\sqrt{2}=3\sqrt{2}$.
  • $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{50}{2}} =\sqrt{25} =\sqrt{5^2}=5$

Exercice :

Calculer : $\sqrt{7}\times \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}}$  et $\frac{5}{12}\times \frac{10}{6}$.

_________

  • $\sqrt{7}\times \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}}$  $=\sqrt{7}\times \sqrt{\frac{14}{2}}$  $=\sqrt{7}\times \sqrt{7}$ $=(\sqrt{7})^2$ $=7$.
  • $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{12}}\times \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{6}}$ $=\frac{\sqrt{5}\times\sqrt{10}}{\sqrt{12}\times\sqrt{6}}$ $=\frac{\sqrt{5}\times\sqrt{5}\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{6}\times\sqrt{6}}$ $=\frac{5}{6}$.

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Supprimer les racines au dénominateur :

Soient $a$ et $b$ deux réels tel que $a$ non nul et $a\neq b$, on a :

  • $\frac{b}{\sqrt{a}}$ $=\frac{b\times \sqrt{a}}{\sqrt{a}\times \sqrt{a}}$  $=\frac{b\sqrt{a}}{a}$.

Exemple : $\frac{3}{\sqrt{7}}$ $=\frac{3\times \sqrt{7}}{\sqrt{7}\times \sqrt{7}}$  $=\frac{3\sqrt{7}}{7}$.

  • $\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$  $=\frac{1\times(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}$   $=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2}$  $=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}$.

Exemple :$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$  $=\frac{1\times(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}$   $=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}^2-\sqrt{2}^2}$  $=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{5-2}$  $=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}$.

  • $\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$  $=\frac{1\times(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$   $=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2}$  $=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}$.

Exemple : $\frac{7}{3+\sqrt{5}}$  $=\frac{7\times(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}$   $=\frac{21-7\sqrt{5}}{3^2-\sqrt{5}^2}$  $=\frac{21-7\sqrt{5}}{9-5}$  $=\frac{21-7\sqrt{5}}{4}$.

Exercice : Simplifier

  • $\sqrt{3}\times\sqrt{12}-2\sqrt{9}$
  • $\sqrt{32}-\sqrt{18}-7\sqrt{2}$
  • $\frac{6\sqrt{8}-\sqrt{48}}{\sqrt{18}-\sqrt{12}}$.
  • $\frac{1}{\sqrt{3}+1}-\frac{1}{\sqrt{3}-1}$.

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Le cours en arabe ici

Par Youssef NEJJARI
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