La fonction x→ ax²+bx+c

La fonction $x \rightarrow ax^2+bx+c$.

$a$, $b$ et $c$ des nombres réels et $a$ non nul.

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ et $C_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

Activité : 

On pose : $f(x)=ax^2+bx+c=a(x-\alpha)^2+\beta$

Calculer $\alpha$ et $\beta$ en fonction de $a$, $b$ et $c$.

Correction

Cours :

Pour étudier la fonction $f(x)=ax^2+bx+c$, on doit l’écrire sous la forme canonique : $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.

($\alpha=\frac{-b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)=\frac{4ac-b^2}{4a}$)

Variation de $f$ :

  • Si $a>0$ : $f$ est décroissante sur $]-\infty ;\alpha]$ et croissante sur $[\alpha; +\infty[$.

tableau de variation ax²+bx+c

 

Dans ce cas : $\beta$ et le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$.

  • Si $a<0$ : $f$ est croissante sur $]-\infty ;\alpha]$ et décroissante sur $[\alpha; +\infty[$.

tableau de variation ax²+bx+c

Dans ce cas : $\beta$ et le maximum de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Courbe représentative de $f$ :

  • La courbe $C_f$ de la fonction $f$ appelée parabole.
  • Le point $\Omega(\alpha;\beta)$ est le sommet du parabole.
  • La droite de l’équation $x=\alpha$ est  l’axe de symétrie de $C_f$.

Exemple 1 : Soit la fonction $f:x\longrightarrow x^2-4x+1$.

  • La Forme canonique de $f$ :

$f(x)=x^2-4x+1$=$x^2-2\times 2x+2^2-2^2+1$=$(x-2)^2-3$ alors $\alpha=2$ et $\beta=-3$.

  • Tableau de variation de $f$ :

Puisque $a=1>0$ et $\alpha=2$ et $\beta=-3$ donc :

tableau de variation x²−4x+1

  • Courbe de $f$ :

$C_f$ est un parabole de sommet $\Omega(2;-3)$ et la droite d’équation $x=2$ comme axe de symétrie.

Et on a : $f(0)=1$ et $f(1)=-2$ donc :

Exemple 2 : Soit la fonction $g:x\longrightarrow -2x^2+6x-1$

  • La Forme canonique de $g$ :

$f(x)=-2x^2+6x-1$

$=-2(x^2-3x)-1$

$=-2(x^2-2\frac{3}{2}x+(\frac{3}{2})^2-(\frac{3}{2})^2)-1$

$=-2[(x-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}]-1$

$=-2(x-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{2}-1$

$=-2(x-\frac{3}{2})^2+\frac{7}{2}$

$=-2(x-\frac{3}{2})^2+\frac{7}{2}$ 

alors $\alpha=\frac{3}{2}$ et $\beta=\frac{7}{2}$.

  • Tableau de variation de $g$ :

Puisque $a=-2<0$ et $\alpha=\frac{3}{2}$ et $\beta=\frac{7}{2}$ donc :

  • Courbe de $f$ :

$C_f$ est un parabole de sommet $\Omega(\frac{3}{2};\frac{7}{2})$ et la droite d’équation $x=\frac{3}{2}$ comme axe de symétrie.

Et on a : $f(0)=1$ et $f(1)=3$ donc :

Exercice :

Donner le tableau de variation et tracer la courbe représentative des deux fonctions : $f(x)=x^2+2x+3$ et $g(x)=-2x^2+6x$

Correction

Modifier la fonction et observer la représentation graphique.

Explication du cours

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