La droite dans le plan Exercice 1

La droite dans le plan Exercice 1

La droite dans le plan exercice 1 concernant presque tous les parties de cours

Soit ($O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{i}$) un repère du plan.

On considère les points $A(-2; 3)$; $B(2; 1)$; $C(-5; -1)$ et D tel que : $\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AB}$.

I et J les milieux successives de [AB] et [CD].

1-a- Qu’elle la nature de quadrilatère ABCD.

1-b- Déterminer les coordonnées de I, J et D.

2- La droite (AC) coupe la droite (BD) en une point E.

 a- Donner l’équation cartésienne de la droite (AC) et une représentation paramétrique de la droite (BD).

b- Déduire les coordonnées de E.

c- Montrer que $E\in (IJ)$ .

Correction de l’exercice :

1-a- Puisque $\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AB}$ alors (AB)//(CD) et CD=2AB donc ABCD est un trapèze.

1-b- I est le milieu de [AB] alors $\overrightarrow{I}=(\frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2})$ donc $\overrightarrow{I}=(0;2)$.

et on a $\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AB}$ donc $x_D-x_C=2(x_A-x_B)$ et $y_D-y_C=2(y_A-y_B)$ alors $x_D=x_C+2(x_A-x_B)$ et $y_D=y_C+2(y_A-y_B)$ donc $x_D=-5+8=3$ et $y_D=-1-4=-5$ d’ou D(3;-5).

J est le milieu de [CD] alors $\overrightarrow{J}=(\frac{x_C+x_D}{2}; \frac{y_C+y_D}{2})$ donc $\overrightarrow{J}=(-1;-3)$.

2- a- équation cartésienne de (AC) :

(AC) passe par A et orientée par $\overrightarrow{AC}$ donc si $M\in (AC)$ on a det($\overrightarrow{AC}$; $\overrightarrow{AM}$)=0

et on a $\overrightarrow{AC}$(-3;-4) et $\overrightarrow{AM}$(x+2;y-3).

c.à.d -3(y-3)-(-4)(x+2)=0 donc (AC) : 4x-3y+17=0.

Représentation paramétrique de (BD) :

(BD) passe par B(2;1) et orientée par $\overrightarrow{BD}(1;-6)$

donc si si $M\in (BD)$ on a $\overrightarrow{BM}$=t $\overrightarrow{BD}$ avec ($t\in \mathbb{R}$).

Donc 

b- Les coordonnées de E :

(AC) coupe (BD) en E alors $E\in (AB)$ et $E\in (BD)$ alors  $x_E=2+t$ et$y_E=1-6t$ et $4x_E-3y_E+17=0$

alors $4(2+t)-3(1-6t)+17=0$ alors $22t+22=0$ alors $t=-1$

alors $x_E=2+(-1)=1$ et$y_E=1-6(-1)=7$  donc E(1;7).

c- $E\in (IJ)$ .

On a $\overrightarrow{IJ}(-1;-5)$ et $\overrightarrow{IE}(1;5)$

alors det($\overrightarrow{IJ}$; $\overrightarrow{IE}$)=0

donc I; J et E sont alignés alors  $E\in (IJ)$.

La figure

La droite dans le plan Exercice 1

Le cours en arabe ici 

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2 Replies to “La droite dans le plan Exercice 1”

  1. il y a une faute dans l’exercice ABCD n’est pas un trapèze, c’est un quadrilatère croisé.
    Je vous prie de corriger l’exercice ou si j’ai faux de me répondre.

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