Calcul vectoriel exercice 2

Calcul vectoriel exercice 2

Énoncé de l’exercice 2 sur le calcul vectoriel pour le tronc commun scientifique.

Soit ABC un triangle dans un plan (P). E, F et G trois points de plan (P) tel que :

$\overrightarrow{CE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ , $\overrightarrow{AF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$.

1- Construire une figure.

2- a- Montrer que : $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ et que $\overrightarrow{EG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{4}{3}\overrightarrow{AC}$.

2- b- Déduire que les points E, F et G sont alignés.

3- Montrer que F est le milieu de [EG].

Rappel :

  • Relation de Chasles :  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
Relation de Chasles
Relation de Chasles
  • $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$ et $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$.
  • s’il existe un nombre réel k tel que : $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$ alors A, B et C sont alignés.
  • I est le milieu de [BC] si : $\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{0}$ ou bien $\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BI}$.

Correction de l’exercice 2 sur le calcule vectoriel.

1- la figure :

On à : $\overrightarrow{CE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$ , $\overrightarrow{AF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$, donc :

calcul vectoriel
calcul vectoriel

 

2- a- Démonstration de la relation : $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$.

On a $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CF}$

$=-\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF}$

$=-\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$

$=-\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

$=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$

Démonstration de la relation : $\overrightarrow{EG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{4}{3}\overrightarrow{AC}$.

On a : $\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AG}$

$=\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$

$=-\overrightarrow{CE}-\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$

$=-\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$

$=-\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$

$=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{4}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$

$=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{4}{3}\overrightarrow{AC}$

2-b-  On montre que les points E, F et G sont alignés.

On a :  $2\overrightarrow{EF}=2(\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{4}{3}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{EG}$

c.à.d. $\overrightarrow{EG}=2\overrightarrow{EF}$ donc E, F et G sont alignés.

3- On montre que  F est le milieu de [EG].

On a $\overrightarrow{EG}=2\overrightarrow{EF}$ c.à.d.   $\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{EF}$ alors $\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{EF}$ alors $\overrightarrow{0}=-\overrightarrow{FG}+\overrightarrow{EF}$ alors $\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{0}$  donc  F est le milieu de [EG].

 

Traduction :

Relation de Chasles : علاقة شال

Construire la figure : أنشيء الشكل

Triangle : مثلث

trois points de plan : ثلاث نقط من المستوى

Déduire que les points … sont alignés : استنتج أن النقط … مستقيمية

Le milieu de : منتصف

les autres exercices sont sur la page : https://goo.gl/ze4qV9

Explication de cours en arabe http://www.mathsways.com/2013/09/calcule-vectoriel.html

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