Continuité en un point

Dans cet article on va voir comment étudier la continuité en un point dans tous les cas possibles.

Règle 1 : On dit qu’une fonction $f$ est continue en $x_0$ si : $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow x_0}} f(x)$ = $f(x_0)$.

Exercice 1 : Soit la fonction $f$ définie sur $[1; +\infty[$ par : $\left\{\begin{array}{r c}f(x)=\frac{x^2+x-2}{x-1} si x\neq 1\\f(1)=3\end{array}\right.$

Montrer que $f$ est continue en 1.

Correction de l'exercice 1

Règle 2 : On dit qu’une fonction $f$ est continue en $x_0$ si :$\lim\limits_{\substack{x \rightarrow x_0 \\ x>x_0}} f(x)$ = $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow x_0 \\ x<x_0}} f(x)$

Exercice 2 : Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $\left\{\begin{array}{r c}
\frac{x^2-4x+4}{x-2} si \phantom xx<0\\
f(x)=\sqrt{x-2} si \phantom xx\geq 2
\end{array}
\right.$

Montrer que $f$ est continue en 2.

Correction de l'exercice 2

Règle 3 :

On dit qu’une fonction $f$ est continue à droite en $x_0$ si :$\lim\limits_{\substack{x \rightarrow x_0 \\ x>x_0}} f(x)$ = $f(x)$.
On dit qu’une fonction $f$ est continue à gauche en $x_0$ si :$\lim\limits_{\substack{x \rightarrow x_0 \\ x<x_0}} f(x)$ = $f(x)$.

Conclusion : si $f$ est continue à droite est à gauche en $x_0$ alors $f$ est continue en $x_0$.

Exercice 3 : Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$\left\{
\begin{array}{r c l}
f(x)=\frac{x^2-3x}{x} si \phantom xx<0\\
f(x)=\frac{x}{x^2+1} si \phantom xx>0\\
f(0)=-3
\end{array}
\right.$

Est ce que $f$ est continue en 0.