Asymptotes et branches infinies
Dans cet article on va expliquer tout ce qui concerne les asymptotes et branches infinies des courbes d’une fonction numérique.
Soit $$f$$ une fonction numérique et $$C_f$$ la courbe représentative, a et m deux réels.
1- Asymptote Horizontale :
On dit que $$C_f$$ admet une asymptote horizontale d’équation $$y=m$$ au voisinage de $$\pm\infty$$ si et seulement si $$\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=m$$.
Exemple : Soit la fonction : $$f(x)=\frac{2x}{x+3}$$, on a $$\lim_{x\to +\infty} f(x)=2$$ donc $$C_f$$ admet une asymptote horizontale d’équation $$y=2$$ au voisinage de $$+\infty$$.
Courbe de f :
2- Asymptote Verticale :
On dit que $$C_f$$ admet une asymptote verticale d’équation $$x=a$$ au voisinage de $$\pm\infty$$ si et seulement si $$\lim_{x\to a} f(x)=\pm\infty$$.
Exemple : soit la fonction $$f(x)=\frac{1}{(x-3)^2}$$, on a $$\lim_{x\to 3} f(x)=+\infty$$ donc $$C_f$$ admet une asymptote verticale d’équation $$x=3$$ au voisinage de $$+\infty$$.
Courbe de f :
3- Asymptotes obliques et branches infinies :
Dans le cas ou $$\lim_{x\to \pm\infty} f(x)=\pm\infty$$ on calcule $$\lim_{x\to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$$ :
- Si $$\lim_{x\to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}=0$$ alors la courbe $$C_f$$ admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses $$(Ox)$$ en $$\pm\infty$$
Exemple : Soit la fonction $$f(x)=\sqrt{x}$$, on a $$\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$$ et $$\lim_{x\to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}=0$$, donc $$C_f$$ admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses $$(Ox)$$ en $$+\infty$$.
Courbe de f :
- Si $$\lim_{x\to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}=\pm$$ alors la courbe $$C_f$$ admet une branche parabolique de direction l’axe $$(Oy)$$ en $$\pm\infty$$.
Exemple : Soit la fonction $$f(x)=x^2$$, on a $$\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$$ et $$\lim_{x\to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}=+\infty$$, donc $$C_f$$ admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées $$(Oy)$$ en $$+\infty$$.
La courbe $$C_f$$ :
- Si $$\lim_{x\to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}=a$$ et $$a\neq 0$$ on calcule $$\lim_{x\to \pm\infty} f(x)-ax$$ :
- Si $$\lim_{x\to \pm\infty} f(x)-ax=b$$ alors la droite d’équation $$y=ax+b$$ est une asymptote oblique de $$C_f$$ en $$\pm\infty$$.
Exemple : Soit la fonction $$f(x)=\frac{x^3}{x^2+1}$$, on a $$\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$$ et $$\lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x}=1$$ alors on calcule $$\lim_{x\to +\infty} f(x)-ax$$ avec $$a=1$$.
$$\lim_{x\to +\infty} f(x)-x=\lim_{x\to +\infty} \frac{x^3}{x^2+1}-x$$ $$=\lim_{x\to +\infty} \frac{x^3-x^3-x}{x^2+1}$$ $$=\lim_{x\to +\infty} \frac{-x}{x^2+1}=0$$
Donc la droite d’équation $$y=1\times x+0$$ c.à.d $$y=x$$ est une asymptote oblique de $$C_f$$ au voisinage de $$+\infty$$.
Courbe de f :
-
- Si $$\lim_{x\to \pm\infty} f(x)-ax=\pm\infty$$ alors $$C_f$$ admet une branche parabolique de direction la droite $$y=ax$$ en $$\pm\infty$$.
Exemple : Soit la fonction $$f(x)=2x+\sqrt{x}$$, on a $$\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$$ et $$\lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x}=2$$ alors on calcule $$\lim_{x\to +\infty} f(x)-2x$$.
$$\lim_{x\to +\infty} f(x)-2x=\lim_{x\to +\infty}2x+\sqrt{x}-2x$$ $$=\lim_{x\to +\infty} \\sqrt{x}=+\infty$$
Donc $$C_f$$ admet une branche parabolique de direction la droite $$y=2x$$ en $$+\infty$$.
Courbe de f :
Par Youssef NEJJARI pour Maths01.com