L’implication | Logique et raisonnement

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L’implication de deux assertion P et Q est une assertions mathématique notée ($P\Longrightarrow Q$).

L’assertion $P\Longrightarrow Q$ est l’assertion (nonP ou Q), elle se lit « P imlique Q » ou bien aussi « si P est vraie alors Q est vraie ».

Exemple :

Soit les propositions « A : le quadrilatère ABCD est un carré » et « B : le quadrilatère ABCD est un rectangle ».
On a alors l’implication logique « A ⇒ B » qui se lit de la façon suivante « si le quadrilatère ABCD est un carré, alors le quadrilatère ABCD est un rectangle ».

Table de vérités de l’assertion $P\Longrightarrow Q$.

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L’implication | Logique et raisonnement

Exemples sur l’implication de deux assertions :

  • $(5>0)\Longrightarrow (2>1)$ est une assertion vraie.
  • $(5<0)\Longrightarrow (2>1)$ est une assertion vraie.
  • $(5<0)\Longrightarrow (2<1)$ est une assertion vraie.
  • $(5>0)\Longrightarrow (2<1)$ est une assertion fausse.
  • $(x^2=9)\Longrightarrow (x=3)$ est une assertion fausse.

Remarques :

  • Si l’assertion P est fausse alors l’assertion $P\Longrightarrow Q$ est toujours fausse.
  • L’assertion $P\Longrightarrow Q$ est fausse si et seulement si P est vraie et Q est fausse.
  • L’assertion $P\Longrightarrow Q$ est équivalente à l’assertion  $\bar{Q}\Longrightarrow \bar{P}$, c.à.d pour montrer que $P\Longrightarrow Q$ on peut seulement montrer que $\bar{Q}\Longrightarrow \bar{P}$.

L’explication de cours et des exemples en vidéo :

Théorème : Soient P, Q et R trois propositions, on a : ((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R)) ⇒ (P ⇒ R). c.à.d si P implique Q et Q implique R alors P implique R.

Exemple : on a (x=3 ⇒ x²=9) et (x²=9 ⇒ x²-7=2) donc (x=3 ⇒ x²-7=2).

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