Opérations sur les entiers naturels et les décimaux

Dans cet article on va expliquer les règles de priorités de calcul des quatre opérations sur les entiers naturels et les décimaux.

Rappel :

$ab$ signifie $a\times b$. (Exemple : $2\times x=2x$) $77\times 12=12\times77$ et $12+4=4+12$. Mais attention ! Si on a plusieurs opérations on peut changer les places des facteurs du produit mais ce n est pas le cas pour l addition.

Exemple on peut changer la place de 5 et 7 mais on ne peut pas changer la place de 7 et 4.

$5\times 7+4=7\times5+4$ mais $5\times 7+4\neq 5\times4+7$.

• $7\times(2+3)$ est le produit de 7 et (2+3). (7 est le premier facteur et (2+3) le deuxième facteur)
• $7\times 2+3$ est l’addition de $7\times 2$ et  3. ($7\times 2$ est le premier terme et 3 le deuxième terme)
• $7\times 2-5$ est la soustraction de $7\times 2$ et  5. ($7\times 2$ est le premier terme et 5 le deuxième terme)
• $7$÷$(2+5)$ est la division de 7 par (2+5). ($7$ est le dividende et (2+5) est le diviseur)

1- Opérations sans parenthèses :

Pour calculer une série d’opérations sans parenthèses  :

• On commence par les multiplications et les divisions de gauche à droite.
• Puis les additions et la soustractions de gauche à droite.

Exemples :

• $2,5+3\times 2 =2,5+6 =8,5$. (J’ai commencé par la multiplication $3\times 2$ puis l’addition)
• $2\times 7+5 =14+5 =19$.
• $2\times 7-5 =14-5 =9$.
• $9,5-3\times 2 =9,5-6=3,5$.
• $5\times 3,2 – 10$ ÷ $2,5 =16 – 4 = 12$.
• $7\times 5 \times 2 =35 \times 2 =70$ (J’ai fait le calcul de gauche à droite)
• $11+33-22+55= 44-22+55= 22+55 =77$ (de gauche à droite)
• $3+8\times 1,5$÷$3-2$÷$4\times 0,5 =3+12$÷$3-0,5\times 0,5 =3+4-0,25=7-0;25= 6,75$

2- Opérations avec parenthèses :

Pour calculer une série d’opérations avec parenthèses, on effectue d’abord les calculs entre parenthèses, en commençant par les parenthèses les plus  intérieurs.  Exemples :

• $4\times (3+2,5)=4\times 5,5 =22$.
• $(2,3+1,2)\times (3+2,5)=3,5\times 5,5 =19,25$.
• $[7\times (2,75+1,25)-2]+14=[7\times 4-2]+14 =[28-2]+14=26+14 =40$

3- Distributivité de la multiplication sur l’addition :

Règles : (Soit a, b et k des nombres décimaux)

• $k\times(a+b)=(a+b)\times k=k\times a+k\times b$.

Exemples :

$10\times(2,5+1,2)=10\times 2,5+10\times 1,2 =25+12=37$. ;

$3,9\times 2,6+3,9\times 7,4 =3,9\times(2,6+7,4)=3,9\times 10=39$.

• $k\times(a-b)=(a-b)\times k=k\times a-k\times b$.

Exemples :

$10\times(2,5-1,2)=10\times 2,5-10\times 1,2 =25-12=13$. ;

$3,5\times 2,6+3,95\times 0,6 =3,5\times(2,6-0,6)=3,5\times 2=7$.

Exercice : Opérations sur les entiers naturels et les décimaux

1- Calculer:

• $5\times 7+3$  ; $17-2,5\times4$ ; $7,5+1,5$÷$3$;
• $7\times 2$÷$14$ ; $17,25+1,33-4,11$;
• $2\times[3\times(1,5+2)-12$÷$(0,25+1,75)]$;

2- Transformer les expressions suivantes en produit : (a et b sont des décimaux)

• $2a+8$ ; $12a-18$ ; $3a+ab$ ; $a^2b+2ab$.

3- Calculer rapidement :

• $$100\times (1,9+0,17)$ ; $2,5\times 9719-1,5\times 9719$.

4- Simplifier les expressions suivantes :

• $44\times(a-0,25)+11$ ; $10a+2,5\times (4-2a)$.

Correction de l’exercice en vidéo :

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