La valeur absolue partie 3

Propriétés : 

Soit $x\in R$ et k un nombre réel positif;

• si $ |x| \leq k $ alors $-k \leq x\leq k $.

Autrement dit : Si $x$ est entre $-k$ et $k$ alors la distance entre $x$ et zéro, est inférieure ou égale à $k$.

Exemple d’application : 

Résoudre dans R l’inéquation $|x-2| \leq 1$.

Solution : $|x-2|\leq 1 $ alors $-1 \leq x-2\leq 1$

alors $-1+2 \leq x-2+2\leq 1+2$

alors $1 \leq x\leq 3$

donc $S=[1;3]$

• si $ |x| \geq k $ alors $ x\leq -k$ ou $ x\geq k $.

Autrement dit : Si $x$ est à gauche de $-k$ ou à droite de $k$ alors la distance entre $x$ et zéro, est supérieure ou égale à $k$.

Exemple d’application : 

Résoudre dans R l’inéquation $|3x+1| \geq 2$.

Solution : $|3x+1| \geq 2$ alors $ 3x+1\leq -2$ ou $ 3x+1\geq 2$

alors $ 3x+1-1\leq -2-1$ ou $ 3x+1-1\geq 2-1$

alors $ 3x\leq -3$ ou $ 3x\geq 1$

alors $ x\leq -1$ ou $ x\geq \frac{1}{3}$

donc $ S=]-\infty ;-1] \cup [\frac{1}{3} ; +\infty[$.