La fonction $x \rightarrow ax^2+bx+c$.
$a$, $b$ et $c$ des nombres réels et $a$ non nul.
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ et $C_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.
Activité :
On pose : $f(x)=ax^2+bx+c=a(x-\alpha)^2+\beta$
Calculer $\alpha$ et $\beta$ en fonction de $a$, $b$ et $c$.
Cours :
Pour étudier la fonction $f(x)=ax^2+bx+c$, on doit l’écrire sous la forme canonique : $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.
($\alpha=\frac{-b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)=\frac{4ac-b^2}{4a}$)
Variation de $f$ :
- Si $a>0$ : $f$ est décroissante sur $]-\infty ;\alpha]$ et croissante sur $[\alpha; +\infty[$.
Dans ce cas : $\beta$ et le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$.
- Si $a<0$ : $f$ est croissante sur $]-\infty ;\alpha]$ et décroissante sur $[\alpha; +\infty[$.
Dans ce cas : $\beta$ et le maximum de $f$ sur $\mathbb{R}$.
Courbe représentative de $f$ :
- La courbe $C_f$ de la fonction $f$ appelée parabole.
- Le point $\Omega(\alpha;\beta)$ est le sommet du parabole.
- La droite de l’équation $x=\alpha$ est l’axe de symétrie de $C_f$.
Exemple 1 : Soit la fonction $f:x\longrightarrow x^2-4x+1$.
- La Forme canonique de $f$ :
$f(x)=x^2-4x+1$=$x^2-2\times 2x+2^2-2^2+1$=$(x-2)^2-3$ alors $\alpha=2$ et $\beta=-3$.
- Tableau de variation de $f$ :
Puisque $a=1>0$ et $\alpha=2$ et $\beta=-3$ donc :
- Courbe de $f$ :
$C_f$ est un parabole de sommet $\Omega(2;-3)$ et la droite d’équation $x=2$ comme axe de symétrie.
Et on a : $f(0)=1$ et $f(1)=-2$ donc :
Exemple 2 : Soit la fonction $g:x\longrightarrow -2x^2+6x-1$
- La Forme canonique de $g$ :
$f(x)=-2x^2+6x-1$
$=-2(x^2-3x)-1$
$=-2(x^2-2\frac{3}{2}x+(\frac{3}{2})^2-(\frac{3}{2})^2)-1$
$=-2[(x-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}]-1$
$=-2(x-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{2}-1$
$=-2(x-\frac{3}{2})^2+\frac{7}{2}$
$=-2(x-\frac{3}{2})^2+\frac{7}{2}$
alors $\alpha=\frac{3}{2}$ et $\beta=\frac{7}{2}$.
- Tableau de variation de $g$ :
Puisque $a=-2<0$ et $\alpha=\frac{3}{2}$ et $\beta=\frac{7}{2}$ donc :
- Courbe de $f$ :
$C_f$ est un parabole de sommet $\Omega(\frac{3}{2};\frac{7}{2})$ et la droite d’équation $x=\frac{3}{2}$ comme axe de symétrie.
Et on a : $f(0)=1$ et $f(1)=3$ donc :
Exercice :
Donner le tableau de variation et tracer la courbe représentative des deux fonctions : $f(x)=x^2+2x+3$ et $g(x)=-2x^2+6x$
Modifier la fonction et observer la représentation graphique.
Explication du cours