La fonction x→a/x

La fonction x\frac{a}{x}

a un nombre réel non nul.

Soit la fonction f:x\rightarrow\frac{a}{x} et C_f sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}).

  • f est définie sur : D_f=\mathbb{R}^*=]-\infty;0[\cup] 0;+\infty[.
  • f est une fonction impaire.
  • Variation de f :
    • Si a<0, on a f est croissante sur ]-\infty; 0[ et sur ] 0;+\infty[.
  • Fonctions inverse tableau de variationFonctions inverse tableau de variation
    • Si a>0,  on a f est décroissante sur ]-\infty; 0[ et sur ] 0;+\infty[.

Fonctions inverse tableau de variation

  • C_f est une courbe appelée hyperbole. l'origine du repère O(0; 0) est un centre de symétrie de C_f, les deux axes de repère x=0 et y=0 sont des asymptotes de C_f.

Exemple : f(x)=\frac{2}{x}.

  • D_f=\mathbb{R}^*=]-\infty; 0[\cup] 0;+\infty[.
  • Tableau de variation : On a a=2>0 donc f est décroissante sur ]-\infty; 0[ et sur ] 0;+\infty[.

Fonctions inverse tableau de variation

  • Courbe de f :

Exercice : 

Soit f une fonction telle que f(x)=\frac{-3}{x}.

  1. Déterminer D_f et calculer f(\frac{1}{2}), f(1), f(3)  et f(6).
  2. Donner le tableau de variation de f.
  3. Tracer la courbe de f.

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  1. D_f=\mathbb{R}^*=]-\infty; 0[\cup] 0;+\infty[f(\frac{1}{2})=\frac{-3}{\frac{1}{2}}=-6, f(1)=\frac{-3}{1}=-3, f(3)=\frac{-3}{3}=-1  et f(6)=\frac{-3}{6}=\frac{-1}{2}.
  2. On a a=-3<0 donc f est croissante sur ]-\infty; 0[ et sur ] 0;+\infty[.Fonctions inverse tableau de variationFonctions inverse tableau de variation

3. La courbe de f est un hyperbole d'origine O(0; 0) et les deux axes du repère x=0 et y=0 sont leurs asymptotes.

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