La fonction x→ ax²+bx+c

La fonction x \rightarrow ax^2+bx+c.

a, b et c des nombres réels et a non nul.

Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=ax^2+bx+c et C_f la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}).

Activité : 

On pose : f(x)=ax^2+bx+c=a(x-\alpha)^2+\beta

Calculer \alpha et \beta en fonction de a, b et c.

[expander_maker more="Correction" less="Masquer"]

[/expander_maker]

Cours :

Pour étudier la fonction f(x)=ax^2+bx+c, on doit l'écrire sous la forme canonique : f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta.

(\alpha=\frac{-b}{2a} et \beta=f(\alpha)=\frac{4ac-b^2}{4a})

Variation de f :

  • Si a>0 : f est décroissante sur ]-\infty ;\alpha] et croissante sur [\alpha; +\infty[.

tableau de variation ax²+bx+c

 

Dans ce cas : \beta et le minimum de f sur \mathbb{R}.

  • Si a<0 : f est croissante sur ]-\infty ;\alpha] et décroissante sur [\alpha; +\infty[.

tableau de variation ax²+bx+c

Dans ce cas : \beta et le maximum de f sur \mathbb{R}.

Courbe représentative de f :

  • La courbe C_f de la fonction f appelée parabole.
  • Le point \Omega(\alpha;\beta) est le sommet du parabole.
  • La droite de l'équation x=\alpha est  l'axe de symétrie de C_f.

Exemple 1 : Soit la fonction f:x\longrightarrow x^2-4x+1.

  • La Forme canonique de f :

f(x)=x^2-4x+1=x^2-2\times 2x+2^2-2^2+1=(x-2)^2-3 alors \alpha=2 et \beta=-3.

  • Tableau de variation de f :

Puisque a=1>0 et \alpha=2 et \beta=-3 donc :

tableau de variation x²−4x+1

  • Courbe de f :

C_f est un parabole de sommet \Omega(2;-3) et la droite d'équation x=2 comme axe de symétrie.

Et on a : f(0)=1 et f(1)=-2 donc :

Exemple 2 : Soit la fonction g:x\longrightarrow -2x^2+6x-1

  • La Forme canonique de g :

f(x)=-2x^2+6x-1

=-2(x^2-3x)-1

=-2(x^2-2\frac{3}{2}x+(\frac{3}{2})^2-(\frac{3}{2})^2)-1

=-2[(x-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}]-1

=-2(x-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{2}-1

=-2(x-\frac{3}{2})^2+\frac{7}{2}

=-2(x-\frac{3}{2})^2+\frac{7}{2} 

alors \alpha=\frac{3}{2} et \beta=\frac{7}{2}.

  • Tableau de variation de g :

Puisque a=-2<0 et \alpha=\frac{3}{2} et \beta=\frac{7}{2} donc :

  • Courbe de f :

C_f est un parabole de sommet \Omega(\frac{3}{2};\frac{7}{2}) et la droite d'équation x=\frac{3}{2} comme axe de symétrie.

Et on a : f(0)=1 et f(1)=3 donc :

Exercice :

Donner le tableau de variation et tracer la courbe représentative des deux fonctions : f(x)=x^2+2x+3 et g(x)=-2x^2+6x

[expander_maker more="Correction" less="Masquer"] [/expander_maker]

Modifier la fonction et observer la représentation graphique.


--

Imprimer

Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *