Fonctions homographiques x→(ax+b)/(cx+d)

La fonction homographique x \rightarrow \frac{ax+b}{cx+d}.

a, b, c et d des nombres réels et d non nul.

Soit la fonction : f:x\rightarrow \frac{ax+b}{cx+d} et C_f la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}).

Notation :

  • La fonction : f:x\rightarrow \frac{ax+b}{cx+d} s'appelle fonction Homographique.
  • La fonction : f:x\rightarrow \frac{ax+b}{cx+d} est définie sur D=\mathbb{R}-\lbrace-\frac{d}{c}\rbrace=]-\infty; -\frac{d}{c}[U]-\frac{d}{c}, +\infty].

Activité : 

Déterminer k, \alpha et \beta tels que :

f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}=\beta +\frac{k}{x-\alpha}.

[expander_maker more="Correction" less="Masquer"]fonction Homographique

[/expander_maker]

Cours :

Pour étudier la fonction f:x\rightarrow \frac{ax+b}{cx+d} on doit l'écrire sous la forme : f(x)=\beta +\frac{k}{x-\alpha}, tels que : \alpha=\frac{-d}{c}\beta=\frac{a}{c} et k=\frac{bc-ad}{c^2}.

  • Si k<0 on a f est croissante sur ]-\infty; \alpha[ et sur ]\alpha; +\infty[.

Fonctions homographiques tableau de variation 2

  • Si k>0 on a f est décroissante sur ]-\infty; \alpha[ et sur ]\alpha; +\infty[.

Fonctions homographiques tableau de variation 1

  • La courbe représentative de la fonction homographique f:x\rightarrow \frac{ax+b}{cx+d} s'appelle Hyperbole. Le point \omega(\alpha; \beta) est le centre de l'hyperbole et les deux droites d'équations x=\alpha et y=\beta sont des asymptotes de l'hyperbole.

Exemple  : 

Soit la fonction : f(x)=\frac{2x+4}{x-1}.

  • Domaine de définition de f

f est définie si x-1\ne 0 c.à.d x\ne 1 donc D_f=]-\infty;1[U]1; +\infty[.

  • Variation de f :

On a : f(x)=\frac{2x+4}{x-2}=\frac{2(x+2)}{x-1}

=2\frac{x+2}{x-1}=2\frac{x-1+1+2}{x-1}

=2(\frac{x-1}{x-1}+\frac{3}{x-1})

=2(1+\frac{3}{x-1}=2+\frac{6}{x-1}

Alors \alpha=1, \beta=2 et k=6 et puisque k>0 alors f est décroissante sur ]-\infty; 1[ et sur ]1; +\infty[.

  • Tableau de variation de f :

Fonctions homographiques tableau de variation 3

  • Courbe représentative de f :

C_f est un hyperbole de centre \omega(1;2) et les deux droites d'équations x=1 et y=2 sont des  asymptotes de l'hyperbole.

courbe de (2x+4)/(x-1)

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Exercice :

Soit la fonction f(x)=\frac{2x-1}{x+1} :

  1. Déterminer le domaine de définition de la fonction f.
  2. Ecrire f sous la forme : f(x)=\beta +\frac{k}{x-\alpha}.
  3. Déduire le tableaux de variation de f.
  4. Déterminer et tracer la courbe représentative de f.

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