Fonctions homographiques x→(ax+b)/(cx+d)

La fonction homographique $x \rightarrow \frac{ax+b}{cx+d}$.

$a$, $b$, $c$ et $d$ des nombres réels et $c$ non nul.

Soit la fonction : $f:x\rightarrow \frac{ax+b}{cx+d}$ et $C_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

Notation :

• La fonction : $f:x\rightarrow \frac{ax+b}{cx+d}$ s’appelle fonction Homographique.
• La fonction : $f:x\rightarrow \frac{ax+b}{cx+d}$ est définie sur $D=\mathbb{R}-\lbrace-\frac{d}{c}\rbrace=]-\infty; -\frac{d}{c}[U]-\frac{d}{c}, +\infty]$.

Activité : 

Déterminer $k$, $\alpha$ et $\beta$ tels que :

$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}=\beta +\frac{k}{x-\alpha}$.

Cours :

Pour étudier la fonction $f:x\rightarrow \frac{ax+b}{cx+d}$ on doit l’écrire sous la forme : $f(x)=\beta +\frac{k}{x-\alpha}$, tels que : $\alpha=\frac{-d}{c}$, $\beta=\frac{a}{c}$ et $k=\frac{bc-ad}{c^2}$.

• Si $k<0$ on a $f$ est croissante sur $]-\infty; \alpha[$ et sur $]\alpha; +\infty[$.

• Si $k>0$ on a $f$ est décroissante sur $]-\infty; \alpha[$ et sur $]\alpha; +\infty[$.

• La courbe représentative de la fonction homographique $f:x\rightarrow \frac{ax+b}{cx+d}$ s’appelle Hyperbole. Le point $\omega(\alpha; \beta)$ est le centre de l’hyperbole et les deux droites d’équations $x=\alpha$ et $y=\beta$ sont des asymptotes de l’hyperbole.

Exemple  : 

Soit la fonction : $f(x)=\frac{2x+4}{x-1}$.

• Domaine de définition de $f$ : 

$f$ est définie si $x-1\ne 0$ c.à.d $x\ne 1$ donc $D_f=]-\infty;1[U]1; +\infty[$.

• Variation de $f$ :

On a : $f(x)=\frac{2x+4}{x-2}=\frac{2(x+2)}{x-1}$

$=2\frac{x+2}{x-1}=2\frac{x-1+1+2}{x-1}$

$=2(\frac{x-1}{x-1}+\frac{3}{x-1})$

$=2(1+\frac{3}{x-1}=2+\frac{6}{x-1}$

Alors $\alpha=1$, $\beta=2$ et $k=6$ et puisque $k>0$ alors $f$ est décroissante sur $]-\infty; 1[$ et sur $]1; +\infty[$.

• Tableau de variation de $f$ :

• Courbe représentative de $f$ :

$C_f$ est un hyperbole de centre $\omega(1;2)$ et les deux droites d’équations $x=1$ et $y=2$ sont des  asymptotes de l’hyperbole.

Explication du cours en vidéo :

Exercice 1 :

Soit la fonction $f(x)=\frac{2x-1}{x+1}$ :

1. Déterminer le domaine de définition de la fonction $f$.
2. Ecrire $f$ sous la forme : $f(x)=\beta +\frac{k}{x-\alpha}$.
3. Déduire le tableaux de variation de $f$.
4. Déterminer et tracer la courbe représentative de $f$.

Exercice 2 :

Soit la fonction $f$ définie par : $f(x)=\frac{3x-1}{2x-2}$ et $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

1- Déterminer $D_f$ le domain de définition de la fonction $f$ et vérifier que pour tout $x$ de $D_f$ on a : $f(x)=\frac{3}{2}+\frac{1}{x-1}$.

2- Déterminer les deux points d’intersection de $C_f$ (la courbe de $f$) avec les axes du repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

3- Etudier les variation de $f$ sur les deux intervalles $]-\infty ; 1[$ et $]1 ; +\infty[$.

4- Tracer $C_f$dans le repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.